要在网络之外的客户端上正常使用ASHX处理程序，您需要确保以下几点：

1. 确保网络连接正确：首先，确保网络连接是正常的，网络之外的客户端能够访问到ASHX处理程序所在的服务器。

2. 配置服务器防火墙：如果您的服务器上启用了防火墙，您需要配置防火墙以允许从网络之外的客户端访问ASHX处理程序。具体的配置方法取决于您使用的防火墙软件或硬件。

3. 使用正确的URL：确保您在网络之外的客户端中使用了正确的URL来访问ASHX处理程序。URL应该包括ASHX处理程序所在的服务器地址和文件路径。

以下是一个示例的ASHX处理程序代码，它将返回一个简单的JSON响应：

using System;
using System.Web;

public class MyHandler : IHttpHandler
{
    public bool IsReusable
    {
        get { return false; }
    }

    public void ProcessRequest(HttpContext context)
    {
        context.Response.ContentType = "application/json";
        context.Response.Write("{\"message\":\"Hello from ASHX handler!\"}");
    }
}

确保您已将此ASHX处理程序部署到您的服务器上，并在网络之外的客户端中使用正确的URL来访问它。如果您仍然遇到问题，请检查服务器的网络设置和防火墙配置，确保网络之外的客户端能够访问到ASHX处理程序。