在ASP.NET Core中，可以通过使用自定义路由来定义API的路由。以下是一个示例解决方案，其中包含一个带有自定义路由的控制器。

1. 创建一个新的ASP.NET Core Web API项目。

2. 在项目中创建一个新的控制器，例如CustomRouteController.cs。

using Microsoft.AspNetCore.Mvc;

namespace YourNamespace.Controllers
{
    [ApiController]
    [Route("api/[controller]")]
    public class CustomRouteController : ControllerBase
    {
        [HttpGet("customroute/{id}")]
        public IActionResult CustomRouteAction(int id)
        {
            // 处理自定义路由的逻辑
            return Ok($"CustomRouteAction called with id: {id}");
        }
    }
}

在上面的示例中，我们创建了一个CustomRouteController控制器，并在路由上添加了customroute。该控制器只包含一个GET动作，接受一个名为id的整数参数，并返回一个包含id值的字符串。

3. 在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中，将API控制器添加到应用程序服务中。

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddControllers();
}

4. 在Startup.cs文件的Configure方法中，启用路由。

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // 省略其他配置代码
    
    app.UseRouting();

    app.UseEndpoints(endpoints =>
    {
        endpoints.MapControllers();
    });
}

5. 运行应用程序，并使用以下请求来调用自定义路由：

GET /api/customroute/123

以上请求将调用CustomRouteAction动作，其中id参数的值为123。