在ASP.NET Core中，可以通过设置HttpClient的DefaultRequestHeaders属性来添加自定义的Request-Id标头。以下是一个示例代码：

using System;
using System.Net.Http;

namespace HttpClientExample
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            // 创建一个HttpClient实例
            HttpClient httpClient = new HttpClient();

            // 添加自定义的Request-Id标头
            httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("Request-Id", Guid.NewGuid().ToString());

            // 发送HTTP请求
            HttpResponseMessage response = httpClient.GetAsync("https://example.com").Result;

            // 检查响应是否成功
            if (response.IsSuccessStatusCode)
            {
                Console.WriteLine("请求成功！");
            }
            else
            {
                Console.WriteLine("请求失败！");
            }

            // 释放HttpClient实例
            httpClient.Dispose();
        }
    }
}

在上面的示例中，通过调用httpClient.DefaultRequestHeaders.Add("Request-Id", Guid.NewGuid().ToString())方法，将一个随机生成的唯一标识符添加到HttpClient的DefaultRequestHeaders中，作为Request-Id标头的值。然后，使用HttpClient发送HTTP请求，可以在请求中看到添加的Request-Id标头。

请注意，在实际应用程序中，可能需要根据具体需求添加其他标头或对标头值进行验证。此外，还应该根据需要处理异步操作，并确保在不再需要HttpClient实例时进行适当的释放。