在ASP.NET Core中，可以使用健康检查来监视应用程序的状态。要实现基本身份验证，可以在配置健康检查时添加身份验证中间件。

首先，在Startup.cs文件中添加以下代码来配置健康检查和基本身份验证：

using Microsoft.AspNetCore.Builder;
using Microsoft.AspNetCore.Diagnostics.HealthChecks;
using Microsoft.AspNetCore.Http;
using Microsoft.Extensions.DependencyInjection;
using Microsoft.Extensions.Diagnostics.HealthChecks;

public class Startup
{
    public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
    {
        services.AddHealthChecks()
            .AddCheck("example", () =>
            {
                // 在此处添加自定义的健康检查逻辑
                return HealthCheckResult.Healthy();
            });
    }

    public void Configure(IApplicationBuilder app)
    {
        app.UseRouting();

        app.UseAuthentication(); // 添加身份验证中间件

        app.UseEndpoints(endpoints =>
        {
            endpoints.MapHealthChecks("/health", new HealthCheckOptions
            {
                // 对/health终结点进行身份验证
                AllowCachingResponses = false,
                ResponseWriter = async (context, report) =>
                {
                    var result = report.Status == HealthStatus.Healthy ? "Healthy" : "Unhealthy";
                    await context.Response.WriteAsync(result);
                }
            });
        });
    }
}

在上面的代码中，services.AddHealthChecks()用于添加健康检查服务。然后，使用AddCheck方法添加自定义的健康检查逻辑。

在Configure方法中，通过调用app.UseAuthentication()将身份验证中间件添加到请求管道中。然后，使用app.UseEndpoints方法来配置健康检查终结点。在这个示例中，健康检查终结点的路径为/health。

在MapHealthChecks方法中，可以使用HealthCheckOptions对象配置健康检查终结点。在这个示例中，我们配置了AllowCachingResponses为false，确保每次请求都会重新执行健康检查。然后，在ResponseWriter委托中，根据健康检查结果的状态返回相应的字符串。

通过这种方式，健康检查终结点将需要进行身份验证，只有通过身份验证的请求才能访问。