AWS API Gateway 是一种托管服务，用于创建、部署和管理 RESTful API。当 API Gateway 返回一个空响应体时，可以采取以下解决方法：

1. 返回一个空 JSON 对象： 如果你希望返回一个空的响应体，可以返回一个空的 JSON 对象。在你的 Lambda 函数中，可以使用以下代码返回一个空的 JSON 对象：

import json

def lambda_handler(event, context):
    # 处理逻辑...

    # 返回一个空的 JSON 对象
    return {
        "statusCode": 200,
        "headers": {
            "Content-Type": "application/json"
        },
        "body": json.dumps({})
    }

2. 返回一个空字符串： 如果你希望返回一个空的响应体，可以直接返回一个空的字符串。在你的 Lambda 函数中，可以使用以下代码返回一个空的字符串：

def lambda_handler(event, context):
    # 处理逻辑...

    # 返回一个空字符串
    return {
        "statusCode": 200,
        "headers": {
            "Content-Type": "text/plain"
        },
        "body": ""
    }

无论是返回空的 JSON 对象还是空字符串，都需要确保正确设置了正确的 Content-Type 头部，以便客户端能够正确解析响应。

这些代码示例适用于使用 AWS Lambda 来处理 API Gateway 请求的情况。根据你的具体需求和后端逻辑，可能需要进行适当的修改。