要解决“AWS API Gateway和Kinesis集成-没有匹配的输出映射和未配置默认输出映射”问题，您需要正确配置API Gateway的输出映射。

下面是一个解决方法的代码示例：

1. 打开API Gateway控制台，选择您的API。
2. 选择集成请求。
3. 选择您要集成的Kinesis资源。
4. 在集成请求设置中，选择“映射模板”。
5. 创建一个映射模板，将请求正文转换为Kinesis所期望的格式。下面是一个示例映射模板，将请求正文转换为JSON格式：

#set($inputRoot = $input.path('$'))
{
  "Data": "$util.base64Encode($inputRoot)"
}

6. 在集成响应设置中，选择“映射模板”。
7. 创建一个映射模板，将Kinesis响应转换为API Gateway所期望的格式。下面是一个示例映射模板，将Kinesis响应解码为字符串：

$input.path('$.Records[0].Data').toString('base64')

8. 保存并部署您的API。

现在，当您通过API Gateway发送请求时，它会将请求转发到Kinesis，并将Kinesis的响应返回给调用方。

请注意，这只是一个示例解决方法，您可能需要根据实际情况进行调整。另外，您还可以通过自定义Lambda函数来处理请求和响应映射，以满足更复杂的需求。