AWS API Gateway支持空请求体的转换有多种方法，以下为一种解决方案的代码示例：

在API Gateway的集成请求中，你可以使用Mapping Template来转换空请求体。以下为一个示例的Lambda函数，它接收一个空请求体并返回一个JSON响应。

1. 创建一个Lambda函数，接收空请求体并返回一个JSON响应：

def lambda_handler(event, context):
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': {
            'message': 'Empty request body received'
        }
    }

2. 在API Gateway中，创建一个POST方法，并将其集成到上述Lambda函数。

3. 在集成请求中，选择使用"Mapping Templates"来转换请求。在"Content-Type"下，添加一个新的Mapping Template，选择"application/json"。

4. 在Mapping Template编辑器中，添加以下内容：

{ "empty": true }

上述Mapping Template将会将空请求体转换为一个包含"empty"字段的JSON对象。

5. 保存并部署API Gateway。

现在，当你向API Gateway发送一个空请求体时，它将会被转换为Lambda函数所期望的JSON格式，并返回一个包含"message"字段的JSON响应。