在AWS API Gateway中，可以通过使用Lambda函数来自定义集成请求和响应。以下是使用Lambda函数将header值设置为默认值的解决方法的代码示例：

1. 创建一个Lambda函数，用于处理API Gateway的集成请求：

import json

def set_default_headers(event, context):
    # 获取原始请求中的headers
    headers = event['headers']

    # 设置默认值
    if 'X-Custom-Header' not in headers:
        headers['X-Custom-Header'] = 'default-value'

    # 返回更新后的headers
    return {
        'statusCode': 200,
        'headers': headers,
        'body': json.dumps({
            'message': 'Default headers set successfully'
        })
    }

2. 将上述Lambda函数上传到AWS Lambda服务，并记下函数的ARN（Amazon Resource Name）。

3. 在API Gateway中创建一个新的HTTP集成，并将集成请求的类型设置为Lambda函数。选择上述创建的Lambda函数，并在“集成请求”设置中将请求参数传递给Lambda函数。

4. 在API Gateway的“集成请求”设置中，可以在“映射模板”下添加一个新的映射模板。选择“application/json”作为媒体类型，然后添加以下映射模板：

{
    "headers": {
        # 将header值设置为默认值
        "X-Custom-Header": "default-value"
    },
    "body": $input.json('$')
}

5. 保存并部署API Gateway。

现在，当客户端发送请求时，API Gateway会将默认的header值添加到请求中，并将请求转发给Lambda函数进行处理。Lambda函数将使用默认的header值进行相应的逻辑处理，并返回更新后的headers给API Gateway，然后API Gateway将响应返回给客户端。

请注意，上述代码示例是使用Python语言编写的，但AWS Lambda也支持其他编程语言，例如Node.js、Java等。您可以根据自己的需求选择适合的编程语言来实现类似的功能。