要在不中断客户的情况下更改AWS API网关的自定义域名的base_mapping，可以采用以下解决方法：

1. 使用AWS SDK或AWS CLI执行以下代码，获取现有的自定义域名配置：

import boto3

client = boto3.client('apigateway')

domain_name = 'your_domain_name'
rest_api_id = 'your_rest_api_id'

response = client.get_domain_name(
    domainName=domain_name
)

base_path_mapping = response['domainName']['basePathMappings'][0]

2. 修改现有的自定义域名配置，将basePath更改为新的路径：

response = client.update_base_path_mapping(
    domainName=domain_name,
    basePathMappingId=base_path_mapping['basePathMappingId'],
    patchOperations=[
        {
            'op': 'replace',
            'path': '/basePath',
            'value': '/new_base_path'
        },
    ]
)

3. 创建新的自定义域名配置，将basePath设置为新的路径：

response = client.create_base_path_mapping(
    domainName=domain_name,
    restApiId=rest_api_id,
    stage='your_stage_name',
    basePath='/new_base_path'
)

请注意，这些示例代码使用Python和AWS SDK for Python（Boto3）进行演示，您需要根据自己的实际情况进行适当的调整。确保替换your_domain_name、your_rest_api_id、your_stage_name和/new_base_path为实际的值。

这个解决方法可以在不中断现有客户的情况下更改自定义域名的base_mapping。