要将Cognito用户池与API Gateway绑定，您可以使用AWS CDK（Cloud Development Kit）来创建和配置相关资源。下面是一个示例解决方案，展示如何使用AWS CDK将Cognito用户池与API Gateway绑定。

首先，确保已安装并配置了AWS CDK。然后，按照以下步骤操作：

1. 创建一个新的CDK项目，并进入项目目录：

mkdir cdk-cognito-api
cd cdk-cognito-api
cdk init app --language typescript

2. 安装所需的AWS CDK模块和依赖项：

npm install aws-cdk-lib aws-cdk-lib aws-cognito aws-apigateway aws-lambda
npm install @types/aws-lambda

3. 打开lib/cdk-cognito-api-stack.ts文件，并使用以下代码替换其中的内容：

import * as cdk from 'aws-cdk-lib';
import * as cognito from 'aws-cdk-lib/aws-cognito';
import * as apigateway from 'aws-cdk-lib/aws-apigateway';
import * as lambda from 'aws-cdk-lib/aws-lambda';

export class CdkCognitoApiStack extends cdk.Stack {
  constructor(scope: cdk.Construct, id: string, props?: cdk.StackProps) {
    super(scope, id, props);

    // 创建Cognito用户池
    const userPool = new cognito.UserPool(this, 'UserPool', {
      selfSignUpEnabled: true,
      signInAliases: {
        username: true,
        email: true
      }
    });

    // 创建API Gateway
    const api = new apigateway.RestApi(this, 'ApiGateway', {
      defaultCorsPreflightOptions: {
        allowOrigins: apigateway.Cors.ALL_ORIGINS,
        allowMethods: apigateway.Cors.ALL_METHODS
      }
    });

    // 创建Lambda函数
    const helloLambda = new lambda.Function(this, 'HelloLambda', {
      runtime: lambda.Runtime.NODEJS_14_X,
      handler: 'index.handler',
      code: lambda.Code.fromInline(`
        exports.handler = async (event) => {
          return {
            statusCode: 200,
            body: 'Hello, World!'
          };
        };
      `)
    });

    // 创建API Gateway资源
    const helloResource = api.root.addResource('hello');
    const helloIntegration = new apigateway.LambdaIntegration(helloLambda);
    helloResource.addMethod('GET', helloIntegration);

    // 将API Gateway与Cognito用户池集成
    const authorizer = new apigateway.CognitoUserPoolsAuthorizer(this, 'Authorizer', {
      cognitoUserPools: [userPool]
    });
    helloResource.addMethod('GET', helloIntegration, {
      authorizer
    });
  }
}

const app = new cdk.App();
new CdkCognitoApiStack(app, 'CdkCognitoApiStack');

上述代码创建了一个包含Cognito用户池、API Gateway和Lambda函数的堆栈。Lambda函数是一个简单的示例函数，返回一个HTTP 200响应和“Hello, World!”消息。

4. 打开cdk.json文件，并添加以下内容：

{
  "context": {
    "@aws-cdk/core:enableStackNameDuplicates": "true",
    "aws-cdk-lib:enableSuppressTsconfig": "true"
  }
}

这将启用堆栈名称重复，并禁用tsconfig文件的自动生成。

5. 构建和部署CDK堆栈：

npm run build
cdk deploy

这将构建并部署CDK堆栈。在部署完成后，您将获得一个API Gateway的URL和Cognito用户池的ID，您可以使用这些信息来测试API。

请注意，上述代码仅提供了一个基本示例，用于演示如何使用AWS CDK将Cognito用户池与API Gateway绑定。在实际应用中，您可能需要根据自己的需求进行更多的自定义和配置。