在Android Q中，可以通过使用REQUEST_LEGACY_EXTERNAL_STORAGE权限来保持应用的权限状态，即使应用被卸载和重新安装。

下面是一个示例代码，演示如何使用REQUEST_LEGACY_EXTERNAL_STORAGE权限：

1. 首先，在AndroidManifest.xml文件中添加以下权限声明：

2. 在需要请求权限的地方，使用以下代码请求权限：

final int REQUEST_CODE = 123; // 任意合适的请求码

if (android.os.Build.VERSION.SDK_INT >= android.os.Build.VERSION_CODES.Q) {
    // 如果设备运行的是Android Q及以上版本
    if (ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
        // 如果WRITE_EXTERNAL_STORAGE权限尚未被授予
        ActivityCompat.requestPermissions(this, new String[]{Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE}, REQUEST_CODE);
    }
} else {
    // 如果设备运行的是Android Q以下版本
    if (ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.READ_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED
            || ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
        // 如果READ_EXTERNAL_STORAGE或WRITE_EXTERNAL_STORAGE权限尚未被授予
        ActivityCompat.requestPermissions(this, new String[]{Manifest.permission.READ_EXTERNAL_STORAGE, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE}, REQUEST_CODE);
    }
}

3. 在onRequestPermissionsResult方法中处理权限请求结果：

@Override
public void onRequestPermissionsResult(int requestCode, @NonNull String[] permissions, @NonNull int[] grantResults) {
    if (requestCode == REQUEST_CODE) {
        if (android.os.Build.VERSION.SDK_INT >= android.os.Build.VERSION_CODES.Q) {
            // 如果设备运行的是Android Q及以上版本
            if (ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
                // 如果WRITE_EXTERNAL_STORAGE权限被拒绝
                boolean showRationale = shouldShowRequestPermissionRationale(Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE);
                if (!showRationale) {
                    // 如果用户选择了"不再询问"选项，弹出对话框引导用户手动开启权限
                    showPermissionDialog();
                }
            }
        } else {
            // 如果设备运行的是Android Q以下版本
            if (ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.READ_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED
                    || ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
                // 如果READ_EXTERNAL_STORAGE或WRITE_EXTERNAL_STORAGE权限被拒绝
                boolean showRationaleRead = shouldShowRequestPermissionRationale(Manifest.permission.READ_EXTERNAL_STORAGE);
                boolean showRationaleWrite = shouldShowRequestPermissionRationale(Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE);
                if (!showRationaleRead && !showRationaleWrite) {
                    // 如果用户选择了"不再询问"选项，弹出对话框引导用户手动开启权限
                    showPermissionDialog();
                }
            }
        }
    }
}

以上代码会在设备运行的是Android Q及以上版本时，请求WRITE_EXTERNAL_STORAGE权限。如果用户拒绝了此权限并选择了"不再询问"选项，将会弹出一个对话框引导用户手动开启权限。如果设备运行的是Android Q以下版本，则会请求READ_EXTERNAL_STORAGE和WRITE_EXTERNAL_STORAGE权限，并在相同的情况下弹出对话框引导用户开启权限。

请注意，Android Q之后，非系统应用无法直接访问外部存储的大部分路径，需要使用MediaStore API来操作外部存储中的文件。