在AWS ECS Fargate CloudFormation部署过程中遇到挂起问题的一种解决方法是检查相关的CloudFormation模板和参数配置是否正确，并确保所需的资源和权限已正确配置。

以下是一个示例解决方法：

1. 检查CloudFormation模板中的资源定义，确保所有必需的资源都已正确定义。例如，确保已定义ECS集群、任务定义、服务等。

   Resources:
     MyEcsCluster:
       Type: AWS::ECS::Cluster
       Properties:
         ClusterName: my-ecs-cluster
   

2. 检查CloudFormation模板中的参数配置，确保所有必需参数都已正确配置。例如，确保已正确配置VPC ID、子网ID等。

   Parameters:
     VpcId:
       Type: AWS::EC2::VPC::Id
       Description: VPC ID
     SubnetId:
       Type: List
       Description: Subnet ID
   

3. 检查CloudFormation模板中的IAM角色和权限配置，确保所需的权限已正确配置。例如，确保已配置允许ECS服务进行相关操作的IAM角色。

   Resources:
     MyEcsTaskExecutionRole:
       Type: AWS::IAM::Role
       Properties:
         RoleName: my-ecs-task-execution-role
         AssumeRolePolicyDocument:
           Statement:
             - Effect: Allow
               Principal:
                 Service: ecs-tasks.amazonaws.com
               Action: sts:AssumeRole
         Policies:
           - PolicyName: ecs-task-execution-policy
             PolicyDocument:
               Statement:
                 - Effect: Allow
                   Action:
                     - ecs:*
                   Resource: '*'
   

4. 检查CloudFormation的输出配置，确保需要的信息已正确输出。例如，确保已输出ECS集群的ARN。

   Outputs:
     MyEcsClusterArn:
       Description: ECS Cluster ARN
       Value: !Ref MyEcsCluster
   

5. 检查CloudFormation部署过程中的日志和错误信息，查找具体的错误原因。可以通过AWS CloudFormation控制台或AWS CLI命令查看相关日志信息。

通过以上步骤，您可以检查和调试CloudFormation部署过程中的问题，并解决挂起问题。请根据您的具体情况进行适当地调整和修改。