在AWS SAM（Serverless Application Model）中，要解决API Gateway执行失败且Lambda函数的权限配置错误的问题，您可以按照以下步骤进行操作：

1. 打开您的AWS SAM模板文件（通常是template.yaml或template.yml）。

2. 确保您的Lambda函数的资源定义具有正确的权限配置。在您的函数定义中，确保您已经提供了正确的权限，以便API Gateway可以调用它。以下是一个示例：

Resources:
  YourFunction:
    Type: AWS::Serverless::Function
    Properties:
      CodeUri: .
      Handler: app.lambda_handler
      Runtime: python3.8
      Policies:
        - AWSLambdaBasicExecutionRole

3. 检查您的API Gateway定义，确保它已正确地与Lambda函数关联。以下是一个示例：

Resources:
  YourAPI:
    Type: AWS::Serverless::Api
    Properties:
      StageName: prod
      DefinitionBody:
        swagger: "2.0"
        info:
          title: "Your API"
        paths:
          /your-path:
            x-amazon-apigateway-any-method:
              x-amazon-apigateway-integration:
                type: aws_proxy
                uri: !Sub arn:aws:apigateway:${AWS::Region}:lambda:path/2015-03-31/functions/${YourFunction.Arn}/invocations

4. 如果您的Lambda函数需要访问其他AWS服务或资源，您可能需要为Lambda函数提供更多的权限。您可以根据您的需求添加适当的IAM策略，以便Lambda函数可以执行所需的操作。

5. 最后，在您的SAM模板目录中执行部署命令，以将更改部署到AWS：

sam deploy --guided

这将引导您通过部署流程，并根据您的模板文件进行部署。确保提供正确的参数和配置，以便正确设置API Gateway与Lambda函数之间的权限。

通过按照上述步骤检查和更新您的AWS SAM模板文件，您应该能够解决API Gateway执行失败的问题，同时还可以确保Lambda函数的权限配置正确。