要解决AWS应用负载均衡器无法处理使用gzip压缩的请求体和content-type为application/json的请求，您可以使用AWS Lambda函数来处理这种情况。下面是一个使用Node.js示例代码：

首先，创建一个Lambda函数来解压缩请求体数据，并将其转发给负载均衡器：

const zlib = require('zlib');
const http = require('http');

exports.handler = async (event, context) => {
  const requestBody = Buffer.from(event.body, 'base64');
  const uncompressedData = zlib.gunzipSync(requestBody);

  const options = {
    hostname: '<负载均衡器的DNS名称>',
    port: 80,
    path: '<转发路径>',
    method: event.httpMethod,
    headers: {
      'Content-Type': 'application/json',
      'Content-Length': uncompressedData.length
    }
  };

  return new Promise((resolve, reject) => {
    const req = http.request(options, (res) => {
      let responseBody = '';

      res.on('data', (chunk) => {
        responseBody += chunk;
      });

      res.on('end', () => {
        resolve({
          statusCode: res.statusCode,
          headers: res.headers,
          body: responseBody
        });
      });
    });

    req.on('error', (e) => {
      reject(e);
    });

    req.write(uncompressedData);
    req.end();
  });
};

然后，将此Lambda函数与API Gateway集成，以便将请求转发给Lambda函数：

1. 在AWS控制台中，打开API Gateway服务。
2. 创建一个新的REST API或选择现有的API。
3. 添加一个资源和一个POST方法。
4. 将Lambda函数与POST方法集成。
5. 配置POST方法的集成请求和集成响应。
6. 部署API以生成API的URL。

现在，您可以使用生成的API的URL来发送gzip压缩的请求体和content-type为application/json的请求，API Gateway将自动将请求转发给Lambda函数进行处理。