问题的根本原因是WebSocket协议不支持body/payload。因此，当您不选择代理集成且使用请求模板时，由于API网关要等待它的所有body/payload被设置之后才会传递消息，因此，连接会失败。

为解决这个问题，您可以使用AWS API网关的WebSocket集成中添加转换Lambda函数来解析WebSocket消息并将其转换为WebSocket支持的标准格式。然后，您可以在Lambda函数中使用API网关管理的请求和响应模板，以便在消息传递过程中进行转换。以下是一个Lambda函数示例：

import json
import boto3

def lambda_handler(event, context):
    message = json.loads(event['body'])
    # do something with the message
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps({'message': 'success'})
    }

然后，您可以将WebSocket集成的Integration Type设置为Lambda，并在Integration Request设置中指定以上Lambda函数名称。最后，确保在请求模板中添加一个空模板。

这样，您就可以成功将消息传递到Lambda函数，并使用请求和响应模板进行转换，从而使WebSocket协议与AWS API Gateway兼容。