我们可以使用AWS Amplify来处理与API网关和Cognito用户池的集成。以下是如何在React JS中使用AWS Amplify进行API Gateway和Cognito用户池认证系统的集成的步骤：

步骤1：使用以下命令安装AWS Amplify

npm install aws-amplify --save

步骤2：使用以下命令添加API网关支持

npm install aws-amplify-react --save

步骤3：在React JS中的index.js文件中添加以下内容以初始化AWS Amplify

import Amplify from 'aws-amplify';
import awsmobile from './aws-exports';
Amplify.configure(awsmobile);

步骤4：在React JS的代码中使用以下代码来调用API网关

import { API } from 'aws-amplify';

const apiName = 'myApiGatewayName'; // Replace with your API name.
const path = '/myApiGatewayResource'; // Replace with your API resource.

API.get(apiName, path, init).then(response => {
  // Handle response here.
}).catch(error => {
  // Handle error here.
});

步骤5：在React JS的代码中使用以下代码来实现Cognito用户池认证

import { withAuthenticator } from 'aws-amplify-react';

class MyComponent extends Component {
  render() {
    return 
Authenticated
;
  }
}

export default withAuthenticator(MyComponent);

以上是如何在React JS中使用AWS Amplify进行API Gateway和Cognito用户池认证系统的集成的基本步骤。