通过AWS API网关添加自定义域名，可以让用户访问您的API时使用自定义域名而非AWS默认域名。下面是使用AWS API Gateway添加自定义域名的步骤：

1. 在AWS控制台中，选择API Gateway服务并创建一个API。

2. 在API Gateway中，创建并配置您的API。

3. 在API Gateway中的左侧菜单栏选择“Custom Domain Names”，然后单击“Create Custom Domain Name”按钮。

4. 输入您的域名，并选择一个ACM证书或创建一个新的证书。

5. 添加DNS记录并完成域名验证。

6. 在API Gateway中部署您的API。

7. 将API与您的自定义域名关联。在API Gateway中选择“Custom Domain Names”，然后单击“Associate”按钮，并选择您的API。

8. 接下来，您可以使用您的自定义域名访问您的API。例如，如果您的自定义域名是“api.example.com”，则您可以访问您的API：https://api.example.com。

下面是一些关于如何通过API网关和Lambda函数来处理这个问题的示例代码：

在Lambda函数中添加以下代码，以处理来自API网关的请求：

import json

def lambda_handler(event, context):
    # Handle API Gateway request
    body = {
        "message": "Hello, world!"
    }

    response = {
        "statusCode": 200,
        "headers": {
            "Content-Type": "application/json"
        },
        "body": json.dumps(body)
    }

    return response

接下来，您可以在API Gateway中为您的API创建资源和方法，并将API关联到Lambda函数。然后，您可以使用域名来访问API。

希望这些内容可以帮助您使用AWS API Gateway添加自定义域名。