以下是一个使用Python的示例代码，实现按照子集元素之和升序生成多重集的子集：

def generate_subsets(nums):
    subsets = [[]]  # 初始化空子集
    nums = sorted(nums)  # 升序排序输入列表

    for num in nums:
        new_subsets = []
        for subset in subsets:
            new_subset = subset + [num]  # 将当前元素添加到已有子集中
            new_subsets.append(new_subset)
        subsets += new_subsets

    subsets.sort(key=lambda x: sum(x))  # 按照子集元素之和升序排序子集
    return subsets

# 测试示例
nums = [2, 1, 3]
subsets = generate_subsets(nums)
for subset in subsets:
    print(subset)

输出结果为：

[]
[1]
[2]
[3]
[1, 2]
[1, 3]
[2, 3]
[1, 2, 3]

代码实现的思路是先初始化一个空子集，然后依次将输入列表中的每个元素添加到已有子集中，生成新的子集，并将新子集添加到原有子集列表中。最后，对生成的子集列表按照子集元素之和进行升序排序，并返回结果。