以下是一个示例代码，演示如何保持Mapbox GL JS弹出窗口打开并绑定鼠标移动监听器：

// 创建地图容器
var map = new mapboxgl.Map({
  container: 'map',
  style: 'mapbox://styles/mapbox/streets-v11',
});

// 创建弹出窗口
var popup = new mapboxgl.Popup({
  closeButton: false,
  closeOnClick: false
});

// 监听鼠标移动事件
map.on('mousemove', function(e) {
  // 检查是否有要显示的弹出窗口内容
  if (e.features.length > 0) {
    // 获取鼠标悬停的要素
    var feature = e.features[0];
    
    // 设置弹出窗口的坐标和内容
    popup.setLngLat(feature.geometry.coordinates)
         .setHTML('
' + feature.properties.title + '
' + feature.properties.description + '
')
         .addTo(map);
  } else {
    // 如果没有要素可显示，则移除弹出窗口
    popup.remove();
  }
});

在上面的示例中，我们首先创建了一个地图容器，并指定了地图的样式。然后，我们创建了一个弹出窗口，并将关闭按钮和点击地图时关闭弹出窗口的选项设置为false。接下来，我们使用map.on('mousemove', ...)方法来监听鼠标移动事件。在事件处理程序中，我们检查是否有要素被悬停，并获取第一个要素的信息。然后，我们设置弹出窗口的坐标和内容，并将其添加到地图中。如果没有要素可显示，则移除弹出窗口。

请注意，上述代码仅为示例，您需要根据您的实际需求进行适当的修改。