要保存和显示来自API的嵌套JSON数据，您可以使用编程语言中的JSON解析器和数据结构来处理它。以下是一种示例解决方案，使用Python语言的json库：

import json
import requests

# 发送API请求并获取JSON响应
response = requests.get('https://api.example.com/data')
data = response.json()

# 保存JSON数据到文件
with open('data.json', 'w') as file:
    json.dump(data, file)

# 读取保存的JSON数据
with open('data.json', 'r') as file:
    saved_data = json.load(file)

# 显示嵌套的JSON数据
def display_data(data):
    for key, value in data.items():
        if isinstance(value, dict):
            print(key + ':')
            display_data(value)
        else:
            print(key + ': ' + str(value))

display_data(saved_data)

在上述示例中，我们首先使用requests库发送API请求并获取JSON响应。然后，我们使用json.dump()将JSON数据保存到名为'data.json'的文件中。

接下来，我们使用json.load()从保存的文件中读取JSON数据，并将其存储在saved_data变量中。

最后，我们定义了一个名为display_data的函数，它递归地遍历JSON数据并打印键值对。如果值是一个嵌套的字典，它将调用自身来处理嵌套的数据。这样，我们可以显示整个嵌套的JSON数据。

请注意，这只是一种示例解决方案，具体的实现可能因编程语言和使用的库而有所不同。