保存扩展程序的状态（开启或关闭）的解决方法可以通过使用浏览器提供的存储机制来实现。以下是一个示例代码，展示了如何使用Chrome浏览器的chrome.storage API来保存和读取扩展程序的状态：

// 保存扩展程序的状态
function saveExtensionState(state) {
  chrome.storage.sync.set({ extensionState: state }, function() {
    console.log('扩展程序状态已保存');
  });
}

// 读取扩展程序的状态
function getExtensionState(callback) {
  chrome.storage.sync.get('extensionState', function(result) {
    if (callback && typeof callback === 'function') {
      callback(result.extensionState);
    }
  });
}

// 示例用法
// 保存扩展程序的状态为开启
saveExtensionState(true);

// 读取扩展程序的状态并在回调函数中处理
getExtensionState(function(state) {
  if (state) {
    console.log('扩展程序已开启');
  } else {
    console.log('扩展程序已关闭');
  }
});

在上述示例中，saveExtensionState函数用于保存扩展程序的状态，接受一个布尔值参数state，表示扩展程序的状态（开启或关闭）。它使用chrome.storage.sync.set方法将状态存储在浏览器的同步存储区中。

getExtensionState函数用于读取扩展程序的状态，接受一个回调函数callback作为参数。它使用chrome.storage.sync.get方法获取存储的状态，并在回调函数中将状态作为参数传递。

这个示例中的存储机制使用了Chrome浏览器的同步存储区，这意味着扩展程序的状态将在用户登录的多个设备上同步。如果不需要同步，也可以使用chrome.storage.local代替chrome.storage.sync来使用本地存储区。