要解决背景脚本发送的消息未被内容脚本接收的问题，您需要使用 Chrome 的消息传递机制来确保消息的正确传递。下面是一个包含代码示例的解决方法：

在背景脚本中发送消息：

// 在背景脚本中发送消息
chrome.tabs.query({active: true, currentWindow: true}, function(tabs) {
    chrome.tabs.sendMessage(tabs[0].id, {message: "Hello from background script"});
});

在内容脚本中接收消息：

// 在内容脚本中接收消息
chrome.runtime.onMessage.addListener(function(request, sender, sendResponse) {
    if (request.message === "Hello from background script") {
        console.log(request.message);
        // 在这里处理接收到的消息
    }
});

上述代码通过使用 chrome.tabs.sendMessage 在背景脚本中发送消息，并使用 chrome.runtime.onMessage 在内容脚本中监听消息。当内容脚本接收到来自背景脚本的消息时，会触发监听器，并在控制台打印出消息内容。您可以在监听器中添加您希望执行的代码来处理接收到的消息。

请确保背景脚本和内容脚本都已正确注册，并且符合您的需求。如果仍然无法解决问题，请确保您的代码中没有其他潜在的错误，并检查 Chrome 的开发者工具中是否有任何错误消息。