要解决“本地存储不支持图标类”的问题，您可以使用base64编码将图标转换为字符串，并将其存储在本地存储中。以下是一个示例代码，演示了如何将图标转换为base64编码，并将其存储在本地存储中：

// 定义一个变量，表示要转换为base64编码的图标文件路径
var iconFilePath = 'path/to/icon.png';

// 创建一个XMLHttpRequest对象，用于读取图标文件
var xhr = new XMLHttpRequest();
xhr.open('GET', iconFilePath, true);
xhr.responseType = 'blob';

xhr.onload = function(e) {
  if (this.status == 200) {
    var blob = this.response;

    // 读取图标文件成功后，使用FileReader将图标文件转换为base64编码
    var reader = new FileReader();
    reader.onloadend = function() {
      // 将base64编码的图标字符串存储在本地存储中
      localStorage.setItem('icon', reader.result);
    };
    reader.readAsDataURL(blob);
  }
};

xhr.send();

在上面的示例中，我们首先定义了要转换为base64编码的图标文件的路径（iconFilePath）。然后，我们创建了一个XMLHttpRequest对象，并将其设置为读取二进制数据。接下来，我们使用FileReader将图标文件转换为base64编码，并将其存储在本地存储中（使用localStorage.setItem方法）。

请注意，这只是一个示例代码，您需要根据您的具体需求进行适当的修改和调整。您还应该确保图标文件存在，并且在请求期间可以访问。