要本地托管ASP.NET Core Web API，您可以按照以下步骤进行操作：

步骤1：创建ASP.NET Core Web API项目 使用Visual Studio或者命令行工具创建一个新的ASP.NET Core Web API项目。您可以使用以下命令在命令行中创建一个新的项目：

dotnet new webapi -n MyApi

这将在名为“MyApi”的文件夹中创建一个新的ASP.NET Core Web API项目。

步骤2：编写API控制器 在“Controllers”文件夹中创建一个新的API控制器，例如“ValuesController.cs”。在控制器中编写您的API端点和操作。以下是一个简单的示例：

using Microsoft.AspNetCore.Mvc;
using System.Collections.Generic;

namespace MyApi.Controllers
{
    [Route("api/[controller]")]
    [ApiController]
    public class ValuesController : ControllerBase
    {
        // GET: api/values
        [HttpGet]
        public ActionResult> Get()
        {
            return new string[] { "value1", "value2" };
        }

        // GET api/values/5
        [HttpGet("{id}")]
        public ActionResult Get(int id)
        {
            return "value";
        }

        // POST api/values
        [HttpPost]
        public void Post([FromBody] string value)
        {
        }

        // PUT api/values/5
        [HttpPut("{id}")]
        public void Put(int id, [FromBody] string value)
        {
        }

        // DELETE api/values/5
        [HttpDelete("{id}")]
        public void Delete(int id)
        {
        }
    }
}

步骤3：配置和启动应用程序 在项目的根目录中打开命令行，并使用以下命令安装ASP.NET Core运行时：

dotnet restore

然后，使用以下命令启动应用程序：

dotnet run

这将启动应用程序并将其托管在本地开发服务器上，默认端口为5000。

步骤4：测试API 打开浏览器或者API测试工具（例如Postman），并访问以下URL来测试API：

http://localhost:5000/api/values

您应该能够看到返回的值为“value1”和“value2”。

这就是一个简单的本地托管ASP.NET Core Web API的示例。您可以按照类似的步骤在本地托管和测试其他ASP.NET Core Web API应用程序。