在安装 "@angular/fire@5.1.1" 和 "firebase@5.8.4" 版本时遇到 "gyp ERR! 构建错误" 的错误消息，这可能是由于缺少构建所需的工具或环境导致的。以下是一些可能的解决方法：

1. 确保已安装最新版本的 Node.js 和 npm。可以在终端中运行以下命令来检查版本：node -v 和 npm -v。如果它们不是最新版本，请访问官方网站下载并安装最新版本。

2. 确保已正确安装了构建工具。对于 Windows 用户，可以使用以下命令安装构建工具：npm install -g windows-build-tools。对于 macOS 用户，可以使用以下命令安装 Xcode 命令行工具：xcode-select --install。

3. 清除 npm 的缓存并重新安装依赖项。可以使用以下命令清除缓存：npm cache clean --force。然后，删除项目目录中的 "node_modules" 文件夹，并运行 npm install 命令重新安装依赖项。

4. 确保已正确配置项目的 package.json 文件。检查 package.json 文件中的依赖项和版本号是否正确，并确保没有冲突的依赖关系。

5. 如果使用了代理服务器，请确保已正确配置代理。可以在终端中使用以下命令设置代理：npm config set proxy http://proxy.company.com:8080 和 npm config set https-proxy http://proxy.company.com:8080，将 "http://proxy.company.com:8080" 替换为正确的代理地址。

6. 确保您的网络连接正常，并且可以访问所需的依赖项资源。有时，网络连接不稳定或代理服务器配置不正确可能导致安装错误。

如果尝试上述解决方法后问题仍然存在，请提供更多详细的错误信息和操作系统信息，以便进一步帮助您解决问题。