以下是一种可以遍历日期范围内的月份并获取第一个和最后一个日期的解决方法，使用Python语言编写：

from datetime import datetime, timedelta

def get_first_last_dates(start_date, end_date):
    # 将日期字符串转换为datetime对象
    start_date = datetime.strptime(start_date, "%Y-%m-%d")
    end_date = datetime.strptime(end_date, "%Y-%m-%d")
    
    # 初始化结果列表
    result = []
    
    # 循环遍历月份
    current_date = start_date
    while current_date <= end_date:
        # 获取当前月份的第一天和最后一天日期
        first_date = current_date.replace(day=1)
        last_day_of_month = (current_date.replace(day=1) + timedelta(days=32)).replace(day=1) - timedelta(days=1)
        
        # 将结果添加到列表中
        result.append((first_date, last_day_of_month))
        
        # 前进到下一个月份
        current_date = current_date.replace(day=1) + timedelta(days=32)
    
    return result

# 示例用法
start_date = "2022-01-05"
end_date = "2022-06-15"
dates = get_first_last_dates(start_date, end_date)
for first_date, last_date in dates:
    print("第一个日期:", first_date.strftime("%Y-%m-%d"))
    print("最后一个日期:", last_date.strftime("%Y-%m-%d"))
    print("--------------")

在上面的代码中，我们定义了一个名为get_first_last_dates的函数，它接受两个参数：start_date和end_date，这些参数是表示日期范围的字符串（格式为YYYY-MM-DD）。函数会将这些日期字符串转换为datetime对象，并使用循环遍历月份。在每个月份中，我们使用replace方法获取该月份的第一天日期，并使用一些日期算术来获取该月份的最后一天日期。然后，我们将第一个和最后一个日期作为元组添加到结果列表中。最后，我们返回结果列表。

在示例用法部分，我们提供了一个示例日期范围（从2022年1月5日到2022年6月15日），并调用get_first_last_dates函数来获取每个月份的第一个和最后一个日期。然后，我们使用strftime方法将日期对象格式化为字符串，并打印出来。

运行上述代码将输出如下结果：

第一个日期: 2022-01-01
最后一个日期: 2022-01-31
--------------
第一个日期: 2022-02-01
最后一个日期: 2022-02-28
--------------
第一个日期: 2022-03-01
最后一个日期: 2022-03-31
--------------
第一个日期: 2022-04-01
最后一个日期: 2022-04-30
--------------
第一个日期: 2022-05-01
最后一个日期: 2022-05-31
--------------
第一个日期: 2022-06-01
最后一个日期: 2022-06-30
--------------

上述代码的基本思路是遍历起始日期和结束日期之间的每个月份。对于每个月份，我们确定第一天和最后一天的日期，并将它们添加到结果列表中。请注意，这个方法假设起始日期和结束日期处于同一年。如果跨越多年，则需要对算法进行适当的调整。