遇到这个错误时，可以尝试以下解决方法：

1. 确保安装了MySQL开发库和头文件。在Ubuntu上，可以运行以下命令安装：

sudo apt-get install libmysqlclient-dev

在其他操作系统上，可以根据相应的包管理器安装MySQL开发库和头文件。

2. 重新安装或更新gem包管理器。首先运行以下命令升级gem：

gem update --system

然后，重新安装mysql2 gem：

gem uninstall mysql2
gem install mysql2 -v '0.4.10'

3. 使用特定的编译选项进行安装。在Gemfile中添加以下行：

gem 'mysql2', '0.4.10', :platforms => :ruby, :group => :development, :require => false

然后运行bundle install命令重新安装gem。

4. 检查是否安装了正确版本的Ruby。确保使用的是与mysql2 gem兼容的版本。

5. 如果上述方法都没有解决问题，可以尝试使用其他版本的mysql2 gem。在Gemfile中指定其他版本，然后运行bundle install命令重新安装gem。

这些解决方法中的一种或多种可能会解决安装mysql2 0.4.10时遇到的Gem::Ext::BuildError错误。