可以使用Newton-Raphson迭代法或者二分法进行求解，以下是使用二分法的示例代码：

import math

# 定义求解平方根的函数
def sqrt(x):
    l, r = 0, x
    eps = 1e-7

    while r - l > eps:
        mid = (l + r) / 2
        if mid * mid < x:
            l = mid
        else:
            r = mid

    return l

# 定义逼近求解每个元素平方根的函数
def sqrt_array(arr):
    n = len(arr)
    res = [0] * n

    for i in range(n):
        res[i] = sqrt(arr[i])

    return res

# 测试
arr = [1, 4, 9, 16, 25]
res = sqrt_array(arr)
print(res)

以上代码定义了一个求解平方根的函数sqrt(x)，使用二分法进行求解。在逼近求解每个元素平方根的函数中，遍历每个元素，使用sqrt(x)函数进行求解。运行测试后，输出结果为[1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0]，符合预期。