一种解决方法是使用冒泡排序算法来对待办事项清单进行排序。冒泡排序算法比较相邻的两个元素，如果顺序不正确，则交换它们的位置，直到整个列表都排序完成为止。

以下是一个示例代码：

def bubble_sort(todo_list):
    n = len(todo_list)
    for i in range(n-1):
        for j in range(n-i-1):
            if todo_list[j] > todo_list[j+1]:
                todo_list[j], todo_list[j+1] = todo_list[j+1], todo_list[j]

todo_list = ["任务3", "任务1", "任务2", "任务5", "任务4"]
print("排序前：", todo_list)

bubble_sort(todo_list)
print("排序后：", todo_list)

输出结果为：

排序前： ['任务3', '任务1', '任务2', '任务5', '任务4']
排序后： ['任务1', '任务2', '任务3', '任务4', '任务5']

通过使用冒泡排序算法，我们可以对待办事项清单进行排序，而不使用sort()函数。