当在ASP.NET Core项目中出现不同版本的"Microsoft.AspNetCore.Authentication.Abstractions"之间的冲突时，可以尝试以下几种解决方法：

1. 升级项目中所有依赖的包到兼容的最新版本。可以通过NuGet Package Manager或者项目文件手动修改依赖项的版本号。例如，在.csproj文件中找到标签，将版本号更新为最新稳定版本。

2. 使用Assembly Binding Redirects来解决版本冲突。在项目的配置文件（如web.config或app.config）中，添加以下配置，将冲突的旧版本重定向到新版本：

需要将"YourPublicKeyToken"替换为实际的公钥令牌。

3. 如果以上方法都无效，可以考虑手动合并冲突的代码。这意味着修改项目代码，以便适应两个不同版本之间的差异。这可能需要查看包的更新日志和文档，了解版本之间的变化，并进行相应的修改。

例如，如果两个版本的"Microsoft.AspNetCore.Authentication.Abstractions"中的某些方法或类发生了变化，可以使用条件编译指令（#if #endif）来根据不同的版本执行不同的代码逻辑。

#if NETCOREAPP2_0
    // 版本2.0的代码
#else
    // 版本1.0的代码
#endif

这样可以根据不同版本之间的差异来编写适应性代码。

请注意，手动合并代码可能会导致一些潜在的问题和不稳定性，因此建议尽量使用前两种解决方法来解决包冲突。