不同浏览器之间的密码保存提示行为确实存在差异。以下是一种解决方法，其中包含代码示例，用于在Firefox、Chrome和Edge浏览器中统一密码保存提示行为：

1. 使用HTML的autocomplete属性：在登录表单的用户名和密码输入框中添加autocomplete属性，并将其设置为on。这将提示浏览器保存密码。

2. 使用JavaScript的autofill事件：通过监听autofill事件，可以在密码自动填充时执行自定义操作，例如显示一个确认提示框。

document.addEventListener("DOMContentLoaded", function() {
  var passwordInput = document.querySelector("input[name='password']");
  
  passwordInput.addEventListener("autofill", function() {
    // 在密码自动填充时执行自定义操作
    var shouldSavePassword = confirm("Do you want to save this password?");
    if (shouldSavePassword) {
      // 进行密码保存的操作
    }
  });
});

3. 使用浏览器特定的API：某些浏览器提供了特定的API，用于控制密码保存提示行为。以下是一些示例：

• Firefox：使用loginSave函数可以直接触发Firefox的密码保存提示。

document.querySelector("input[type='submit']").addEventListener("click", function() {
  window.loginSave();
});

• Chrome：使用chrome命名空间下的passwords API可以控制Chrome的密码保存提示。

document.querySelector("input[type='submit']").addEventListener("click", function() {
  chrome.passwords.save({
    credentials: {
      username: document.querySelector("input[name='username']").value,
      password: document.querySelector("input[name='password']").value
    }
  });
});

• Edge：使用msSavePassword函数可以直接触发Edge的密码保存提示。

document.querySelector("input[type='submit']").addEventListener("click", function() {
  window.msSavePassword();
});

请注意，这些方法可能需要在浏览器的特定版本或配置中才能正常工作。建议在使用时查阅相关文档以获取最新信息。