在Apache Flink中，有状态函数的容错消息分发可以通过使用Flink的状态后端和Flink的exactly-once语义来实现。下面是一个示例解决方案：

首先，需要定义一个具有状态的函数，例如一个MapFunction。这里我们定义一个简单的函数来计算输入流中每个元素的平方：

public class SquareMapFunction extends RichMapFunction {

    private ValueState state;

    @Override
    public void open(Configuration parameters) throws Exception {
        ValueStateDescriptor descriptor =
            new ValueStateDescriptor<>("state", Integer.class);
        state = getRuntimeContext().getState(descriptor);
    }

    @Override
    public Integer map(Integer value) throws Exception {
        // 获取当前状态
        Integer currentState = state.value();

        // 如果状态为空，则初始化为0
        if (currentState == null) {
            currentState = 0;
        }

        // 计算新的状态
        int newState = currentState + (value * value);

        // 更新状态
        state.update(newState);

        return newState;
    }
}

然后，将这个函数应用到流处理任务中。在这个示例中，我们使用一个键控流来触发状态的更新，并将每次更新的结果发送到下游操作符：

public static void main(String[] args) throws Exception {
    StreamExecutionEnvironment env = StreamExecutionEnvironment.getExecutionEnvironment();

    // 设置状态后端
    env.setStateBackend(new FsStateBackend("file:///path/to/checkpoints"));

    // 设置检查点间隔时间
    env.getCheckpointConfig().setCheckpointInterval(5000);

    // 设置检查点模式为EXACTLY_ONCE
    env.getCheckpointConfig().setCheckpointingMode(CheckpointingMode.EXACTLY_ONCE);

    // 创建输入流
    DataStream input = env.fromElements(1, 2, 3, 4, 5);

    // 对输入流应用有状态函数
    DataStream result = input
        .keyBy(value -> value % 2)  // 按奇偶分组
        .map(new SquareMapFunction());

    // 输出结果
    result.print();

    // 执行任务
    env.execute("Stateful Function Example");
}

在这个示例中，我们使用了一个文件系统状态后端来保存任务的状态数据。还设置了检查点间隔时间为5000毫秒，并将检查点模式设置为EXACTLY_ONCE，以保证状态的一致性和恰好一次语义。

当任务启动时，Flink会自动创建一个检查点并将状态数据保存到状态后端。如果任务失败或被取消，Flink可以使用最近的检查点来恢复任务的状态，并确保在重新启动后的计算中不会丢失任何数据。

通过这种方式，Apache Flink可以实现有状态函数的容错消息分发，以保证结果的正确性和一致性。