要解决Apache Tomcat服务器在ServletRequestListener.requestInitialized中花费大量时间的问题，可以尝试以下几种方法：

1. 检查代码中的逻辑：检查ServletRequestListener.requestInitialized方法中的代码，确保没有执行耗时的操作。可能存在某些复杂的逻辑或者长时间的IO操作，导致了延迟。如果有这种情况，可以考虑将这些操作移至其他地方，或者优化代码逻辑。

2. 检查外部资源：如果在ServletRequestListener.requestInitialized方法中涉及到与外部资源的交互，比如数据库连接、网络请求等，可以检查这些资源的性能是否正常。可能存在外部资源连接缓慢或者响应时间长的问题，可以尝试优化或者替换这些资源。

3. 使用异步处理：如果ServletRequestListener.requestInitialized方法需要执行一些耗时的操作，可以考虑将这些操作放在一个异步任务中执行，避免阻塞请求的处理。可以使用Java的线程池或者消息队列等方式来实现异步处理。

下面是一个使用异步处理的示例代码：

public class MyServletRequestListener implements ServletRequestListener {

    private ExecutorService executor;

    @Override
    public void requestInitialized(ServletRequestEvent sre) {
        executor = Executors.newSingleThreadExecutor();
        executor.submit(() -> {
            // 异步执行的代码逻辑
            // ...
        });
    }

    @Override
    public void requestDestroyed(ServletRequestEvent sre) {
        if (executor != null) {
            executor.shutdown();
        }
    }
}

通过将耗时的操作放在异步任务中执行，可以减少在ServletRequestListener.requestInitialized方法中的执行时间，提高服务器的响应速度。注意在requestDestroyed方法中关闭线程池，以避免资源泄漏。

希望这些解决方法对您有所帮助！