出现Apache Tomcat通过url-pattern进行Servlet映射失败（404错误）的问题通常是由于以下几种原因导致的：

1. 配置错误：确保在web.xml文件中正确配置了Servlet和url-pattern。以下是一个示例：

    HelloServlet
    com.example.HelloServlet


    HelloServlet
    /hello

确保servlet-class指定的类存在，并且url-pattern与请求URL匹配。

2. 上下文路径错误：如果您的应用程序部署在上下文路径下，例如“/myapp”，则url-pattern应该包括上下文路径。例如，如果您的上下文路径为“/myapp”，则url-pattern应为“/myapp/hello”。

3. 错误的URL：确保请求的URL与url-pattern匹配。例如，如果url-pattern为“/hello”，则正确的URL应为“http://localhost:8080/myapp/hello”。

4. Tomcat部署问题：如果以上步骤都正确，但仍然出现404错误，则可能是由于Tomcat部署问题。尝试重新启动Tomcat服务器或重新部署应用程序。

以下是一个完整的示例，演示了如何通过url-pattern在Apache Tomcat中正确映射Servlet：

1. 创建一个名为HelloServlet的Java类，实现Servlet接口。代码如下：

package com.example;

import javax.servlet.*;
import javax.servlet.http.*;
import java.io.*;

public class HelloServlet extends HttpServlet {

    @Override
    protected void doGet(HttpServletRequest request, HttpServletResponse response)
            throws ServletException, IOException {
        response.setContentType("text/html");
        PrintWriter out = response.getWriter();
        out.println("");
        out.println("
Hello, Servlet!
");
        out.println("");
    }
}

2. 在web.xml文件中进行配置。确保将以下内容添加到web.xml文件中：

    HelloServlet
    com.example.HelloServlet


    HelloServlet
    /hello

3. 将编译后的HelloServlet.class文件放置在Tomcat的webapps目录下的WEB-INF/classes/com/example目录中。

4. 启动Tomcat服务器。假设Tomcat运行在本地主机的8080端口上。

5. 使用浏览器访问以下URL：http://localhost:8080/myapp/hello

如果一切都设置正确，您将在浏览器中看到“Hello, Servlet!”的消息。如果仍然出现404错误，请检查上述步骤并确保没有其他配置错误或部署问题。