请确保在APIGateway的CORS设置中将允许的方法（GET、PUT等）正确设置。此外，Lambda函数也必须在返回数据前添加CORS标头。

以下是一个Lambda函数示例，它在返回数据前添加了CORS标头：

import json

def lambda_handler(event, context):
    response = {
        "statusCode": 200,
        "headers": {
            "Access-Control-Allow-Origin": "*",
            "Access-Control-Allow-Headers": "Content-Type",
            "Access-Control-Allow-Methods": "OPTIONS,POST,GET"
        },
        "body": json.dumps({"message": "Hello World"})
    }

    return response

在这个示例中，我们在Lambda函数中添加了Access-Control-Allow-Origin、Access-Control-Allow-Headers和Access-Control-Allow-Methods标头，这些标头指示APIGateway允许跨域资源共享。确保在标头中正确设置允许的HTTP方法、允许的来源和允许的头部。

如果你的CORS设置和Lambda函数已经正确配置，但仍然遇到问题，请检查是否在CloudFront等CDN上缓存了响应。在这种情况下，清除缓存或等待缓存过期可能会解决问题。