如果API控制器无法进行PUT和DELETE操作并返回404未找到错误，可能是由于以下原因导致：

1. 缺少PUT和DELETE路由：确保在路由配置中添加了PUT和DELETE请求的路由。例如，在Laravel框架中，可以使用Route::put()和Route::delete()方法定义PUT和DELETE路由。

Route::put('/resource/{id}', 'ApiController@update');
Route::delete('/resource/{id}', 'ApiController@delete');

2. 路由参数错误：确认在控制器方法中正确地获取和使用路由参数。例如，在上述示例中，{id}是一个占位符，表示资源的唯一标识符。在控制器方法中，可以使用$id参数接收该值。

public function update($id) {
    // 根据$id进行更新操作
}

public function delete($id) {
    // 根据$id进行删除操作
}

3. 资源不存在：如果控制器返回404未找到错误，可能是因为请求的资源不存在。在进行PUT和DELETE操作之前，确保资源已经存在。可以在控制器方法中添加逻辑来验证资源的存在性。

public function update($id) {
    $resource = Resource::find($id);

    if (!$resource) {
        return response()->json(['message' => 'Resource not found'], 404);
    }

    // 执行更新操作
}

public function delete($id) {
    $resource = Resource::find($id);

    if (!$resource) {
        return response()->json(['message' => 'Resource not found'], 404);
    }

    // 执行删除操作
}

以上是一些常见的解决方法，具体解决方法可能因框架和代码结构的不同而有所差异。确保以下几点：正确配置PUT和DELETE路由、正确获取和使用路由参数，并验证资源的存在性。如果问题仍然存在，请检查应用程序的错误日志以获取更多详细信息。