在API网关中，可以使用Lambda函数作为代理来处理请求，并在Lambda函数中记录日志。以下是一个示例代码，演示了如何在API网关中使用Lambda函数作为代理，并记录请求路径的日志。

import json

def lambda_handler(event, context):
    # 解析请求路径
    request_path = event['path']
    
    # 记录日志
    print(f"请求路径: {request_path}")
    
    # 执行其他处理逻辑
    
    # 返回响应
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps('请求已成功处理')
    }

在上述示例中，lambda_handler函数是Lambda函数的入口点。它接收一个event参数，其中包含了API网关发送的请求信息。在示例中，我们通过event['path']获取了请求路径，并使用print语句将其记录到日志中。

你可以根据自己的需求来自定义日志的格式和存储方式。例如，你可以将日志写入到CloudWatch Logs中，或者保存到其他日志服务中。