在API网关中处理10分钟空闲连接超时的解决方法可以通过以下步骤来实现：

1. 配置API网关的Websockets设置，允许连接超时时间为10分钟。这取决于你使用的API网关服务提供商，可以参考其文档或控制台设置进行配置。

2. 在你的后端应用代码中，使用心跳机制来保持连接活动。心跳机制是通过定期发送消息来防止连接超时断开。

下面是一个使用JavaScript和Node.js实现心跳机制的示例代码：

const WebSocket = require('ws');

const ws = new WebSocket('wss://your-api-gateway-url');

// 发送心跳消息
function sendHeartbeat() {
  if (ws.readyState === WebSocket.OPEN) {
    ws.send('heartbeat');
  }
}

// 响应心跳消息
function handleHeartbeat() {
  // 在这里执行你需要的操作，以保持连接活动
}

// 定时发送心跳消息
const heartbeatInterval = setInterval(sendHeartbeat, 5 * 60 * 1000); // 每5分钟发送一次心跳消息

ws.on('open', () => {
  console.log('连接已建立');
});

ws.on('message', (message) => {
  if (message === 'heartbeat') {
    handleHeartbeat();
  } else {
    // 处理其他消息
  }
});

ws.on('close', () => {
  console.log('连接已关闭');
  clearInterval(heartbeatInterval); // 清除定时器
});

在上面的示例中，我们使用WebSocket库来创建一个WebSocket连接，并设置了定时器来定期发送心跳消息。当接收到心跳消息时，我们可以执行任何操作来保持连接活动，例如更新一个时间戳，或者发送一些其他信息。

请注意，这只是一个示例，你需要根据你的后端应用的需求进行相应的修改和调整。