在API响应中同时返回枚举名称和字符串值的解决方法有很多种。以下是一种常见的解决方法，使用Java语言和Spring框架来实现：

首先，定义一个枚举类，包含枚举名称和对应的字符串值：

public enum MyEnum {
    ENUM_NAME_1("String Value 1"),
    ENUM_NAME_2("String Value 2"),
    ENUM_NAME_3("String Value 3");

    private final String value;

    MyEnum(String value) {
        this.value = value;
    }

    public String getValue() {
        return value;
    }
}

然后，在API的响应类中，使用一个包含枚举名称和字符串值的DTO（数据传输对象）来表示枚举的响应：

public class MyResponseDTO {
    private String enumName;
    private String enumValue;

    public MyResponseDTO(String enumName, String enumValue) {
        this.enumName = enumName;
        this.enumValue = enumValue;
    }

    // getters and setters
}

接下来，在API的控制器中，定义一个GET请求来获取枚举的响应：

@RestController
public class MyController {
    @GetMapping("/my-api")
    public ResponseEntity getMyApiResponse() {
        MyEnum myEnum = MyEnum.ENUM_NAME_1;
        MyResponseDTO responseDTO = new MyResponseDTO(myEnum.name(), myEnum.getValue());
        return ResponseEntity.ok(responseDTO);
    }
}

通过访问/my-api接口，将返回一个包含枚举名称和字符串值的JSON响应：

{
  "enumName": "ENUM_NAME_1",
  "enumValue": "String Value 1"
}

这样，API响应中同时返回枚举名称和字符串值的问题就得到了解决。请注意，以上示例仅为演示，并非完整的可运行代码，你需要根据自己的实际情况进行适当的修改和调整。