APK写入的推荐位置是应用程序专用目录。可以通过以下代码示例获取该目录的路径：

// 获取应用程序专用目录的根路径
File rootDir = context.getFilesDir();

// 获取应用程序专用目录下的子目录路径
File subDir = context.getDir("subdir", Context.MODE_PRIVATE);

// 获取应用程序专用缓存目录的路径
File cacheDir = context.getCacheDir();

// 获取应用程序专用外部存储目录的路径
if(Environment.getExternalStorageState().equals(Environment.MEDIA_MOUNTED)) {
    File externalDir = context.getExternalFilesDir(null);
}

其中，context是Context的实例，可以通过Activity、Service等子类的this关键字获取到。在上述示例中，getFilesDir()获取应用程序专用目录的根路径，getDir()获取应用程序专用目录下的子目录路径。getCacheDir()获取应用程序专用缓存目录的路径。getExternalFilesDir()获取应用程序专用外部存储目录的路径，如果设备没有外部存储，则返回null。

在Android 6.0及以上版本中，需要动态申请读写外部存储的权限。可以通过以下代码示例进行权限申请：

// 动态申请读写外部存储的权限
if(Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.M) {
    if(checkSelfPermission(Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
        requestPermissions(new String[]{Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE}, 100);
        return;
    }
}