出现500错误通常表示服务器端发生了内部错误。以下是一些可能导致ASP.NET Core中POST、PUT和DELETE请求出现500错误的常见问题和解决方法：

1. 代码错误：检查你的代码是否有任何语法错误、逻辑错误或错误的方法调用。确保你的代码正确处理请求并返回正确的响应。

2. 数据库连接错误：如果你的代码涉及到数据库操作，检查数据库连接字符串是否正确、数据库是否可用，以及你的代码是否正确处理数据库连接和查询。确保数据库的表结构和数据与你的代码一致。

3. 身份验证和授权问题：如果你的代码涉及到身份验证和授权，确保你的代码正确处理用户的身份验证和授权，并且用户有足够的权限执行相应的操作。

4. 输入验证问题：如果你的代码涉及到输入验证，确保你的代码正确验证用户的输入，并且能够处理无效的输入。如果用户提供了无效的输入，返回适当的错误消息。

5. 异常处理：确保你的代码正确处理可能引发的异常，并返回适当的错误响应。使用try-catch块捕获可能的异常，并在catch块中返回适当的错误响应。

以下是一个简单的示例，演示如何在ASP.NET Core中处理POST请求的错误：

[HttpPost]
public IActionResult Create([FromBody] MyModel model)
{
    try
    {
        // 处理请求并保存数据到数据库
        // ...
        return Ok();
    }
    catch (Exception ex)
    {
        // 处理异常并返回适当的错误响应
        return StatusCode(500, "An error occurred while processing your request.");
    }
}

根据具体的错误情况，你可能需要进一步调试和排查问题。你可以查看应用程序的日志、使用调试工具检查服务器的状态，或者查看服务器日志以获取更多详细信息。