以下是使用API控制器处理自定义错误页面的解决方法的代码示例：

首先，在Startup.cs文件的Configure方法中添加以下代码：

app.UseExceptionHandler("/Error");
app.UseStatusCodePagesWithReExecute("/Error/{0}");

然后，在Controllers文件夹中创建一个名为ErrorController的控制器，并添加以下代码：

[ApiController]
[Route("Error")]
public class ErrorController : ControllerBase
{
    [HttpGet("{statusCode}")]
    public IActionResult HandleErrorCode(int statusCode)
    {
        var errorViewModel = new ErrorViewModel();

        // 根据状态码设置错误消息
        switch (statusCode)
        {
            case 404:
                errorViewModel.ErrorMessage = "页面不存在";
                break;
            case 500:
                errorViewModel.ErrorMessage = "服务器出错";
                break;
            default:
                errorViewModel.ErrorMessage = "发生未知错误";
                break;
        }

        return StatusCode(statusCode, errorViewModel);
    }

    [HttpGet]
    public IActionResult HandleError()
    {
        var errorViewModel = new ErrorViewModel
        {
            ErrorMessage = "发生未知错误"
        };

        return StatusCode(500, errorViewModel);
    }
}

最后，创建一个名为ErrorViewModel的模型类，用于表示错误页面的视图模型：

public class ErrorViewModel
{
    public string ErrorMessage { get; set; }
}

这样，当发生错误时，API控制器将根据状态码返回自定义的错误页面。