要实现ASP.NET Core 2.2 Web API控制器继承自Object类而不是Controller类，可以按照以下步骤进行操作：

1. 创建一个新的控制器类，命名为CustomController，该类继承自Object类。

using Microsoft.AspNetCore.Mvc;

public class CustomController : Object
{
    // 添加自定义的Web API方法
    // ...
}

2. 在Startup.cs文件中，将默认的控制器工厂替换为自定义的控制器工厂。

using Microsoft.AspNetCore.Mvc.Controllers;
using Microsoft.Extensions.DependencyInjection;

public class Startup
{
    public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
    {
        services.AddMvc(options =>
        {
            options.Conventions.Add(new ControllerModelConvention());
        });
    }

    private class ControllerModelConvention : IControllerModelConvention
    {
        public void Apply(ControllerModel controller)
        {
            // 将Controller类替换为CustomController类
            if (controller.ControllerType.BaseType == typeof(Controller))
            {
                controller.ControllerType = typeof(CustomController);
            }
        }
    }
}

3. 运行Web API应用程序，您将会看到CustomController类继承自Object类的Web API控制器。

请注意，将控制器类替换为Object类可能会导致一些功能无法正常工作，因为Controller类提供了许多用于处理Web API请求和响应的重要功能。确保在替换Controller类之前评估您的需求和应用程序的特定情况。