在 ASP.NET Core 进程中创建的子进程在退出时被终止的解决方法是通过使用 System.Diagnostics.Process 类的 EnableRaisingEvents 和 Exited 事件来处理子进程退出时的清理操作。

下面是一个示例代码，展示了如何在 ASP.NET Core 中创建子进程，并在子进程退出时进行清理操作：

using Microsoft.AspNetCore.Mvc;
using System.Diagnostics;

namespace YourNamespace
{
    public class YourController : Controller
    {
        private Process _childProcess;

        public IActionResult StartChildProcess()
        {
            _childProcess = new Process();
            _childProcess.StartInfo.FileName = "your_child_process.exe";
            _childProcess.StartInfo.UseShellExecute = false;
            _childProcess.EnableRaisingEvents = true; // 启用事件处理

            _childProcess.Exited += ChildProcessExited; // 注册事件处理程序

            _childProcess.Start();

            return Ok("Child process started.");
        }

        private void ChildProcessExited(object sender, EventArgs e)
        {
            // 在子进程退出时进行清理操作
            // 例如关闭数据库连接、释放资源等

            // 清理完成后，注销事件处理程序
            _childProcess.Exited -= ChildProcessExited;
        }
    }
}

在上面的示例代码中，StartChildProcess 方法会创建一个子进程，并启用 EnableRaisingEvents。然后，Exited 事件处理程序 ChildProcessExited 被注册到子进程的 Exited 事件上。当子进程退出时，ChildProcessExited 事件处理程序会被调用，你可以在其中执行清理操作。

需要注意的是，上述代码只是一个示例，你需要根据你的具体需求进行修改和适配。