在ASP.NET Core MVC中正确处理AJAX错误的方法有以下几个步骤：

1. 创建一个自定义的错误处理中间件，用于捕获并处理AJAX请求中的错误。

public class AjaxErrorHandlerMiddleware
{
    private readonly RequestDelegate _next;

    public AjaxErrorHandlerMiddleware(RequestDelegate next)
    {
        _next = next;
    }

    public async Task Invoke(HttpContext context)
    {
        try
        {
            await _next(context);
        }
        catch (Exception ex)
        {
            // 处理 AJAX 错误
            if (IsAjaxRequest(context))
            {
                context.Response.ContentType = "application/json";
                context.Response.StatusCode = (int)HttpStatusCode.InternalServerError;

                var errorMessage = "An error occurred while processing the AJAX request.";
                var errorDetails = ex.Message;

                // 返回错误信息给前端
                await context.Response.WriteAsync(JsonConvert.SerializeObject(new { error = errorMessage, details = errorDetails }));
            }
            else
            {
                // 未处理的异常交给全局错误处理中间件处理
                throw;
            }
        }
    }

    private bool IsAjaxRequest(HttpContext context)
    {
        return context.Request.Headers["X-Requested-With"] == "XMLHttpRequest";
    }
}

2. 在Startup.cs文件的Configure方法中添加自定义的错误处理中间件。

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // 其他中间件...

    // 添加 AJAX 错误处理中间件
    app.UseMiddleware();

    // 其他中间件...
}

3. 在控制器的Action方法中，如果发生错误，使用throw语句抛出异常。AJAX错误处理中间件会捕获并处理这个异常。

public class MyController : Controller
{
    public IActionResult MyAction()
    {
        try
        {
            // 处理业务逻辑...

            // 如果发生错误，使用 throw 抛出异常
            throw new Exception("An error occurred while processing the AJAX request.");
        }
        catch (Exception ex)
        {
            // 返回错误信息给 AJAX 请求
            return StatusCode((int)HttpStatusCode.InternalServerError, new { error = "An error occurred while processing the AJAX request.", details = ex.Message });
        }
    }
}

这样，当发生AJAX请求中的错误时，会返回一个JSON对象，其中包含错误信息和详细信息。前端可以通过处理这个JSON对象来显示错误信息给用户。