要解决ASP.NET Core Web API自定义路由不起作用的问题，可以尝试以下解决方法：

1. 确保在Startup类的ConfigureServices方法中启用了路由：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddControllers();

    // 添加路由服务
    services.AddRouting();
}

2. 在Startup类的Configure方法中配置自定义路由：

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // ...

    app.UseRouting();

    app.UseEndpoints(endpoints =>
    {
        endpoints.MapControllers();

        // 配置自定义路由
        endpoints.MapControllerRoute(
            name: "customRoute",
            pattern: "api/custom/{id}",
            defaults: new { controller = "CustomController", action = "GetCustom" }
        );
    });
}

在上面的示例中，自定义路由的URL模式为"api/custom/{id}"，并将其映射到名为"CustomController"的控制器的"GetCustom"操作。

3. 在控制器类中添加相应的操作方法和路由特性：

[ApiController]
[Route("api/[controller]")]
public class CustomController : ControllerBase
{
    [HttpGet("{id}")]
    public IActionResult GetCustom(int id)
    {
        // 处理逻辑

        return Ok(result);
    }
}

在上面的示例中，使用[Route]特性指定了控制器的路由前缀为"api/[controller]"，并使用[HttpGet]特性指定了操作方法的HTTP GET请求路由为"{id}"。

4. 确保请求的URL与自定义路由模式匹配。例如，如果自定义路由模式为"api/custom/{id}"，则请求的URL应为"api/custom/1"，其中"1"是有效的{id}值。

通过以上步骤，您应该能够解决ASP.NET Core Web API自定义路由不起作用的问题。如果问题仍然存在，您可以检查其他可能的原因，例如路由顺序或控制器和操作方法的命名错误等。