要解决“Asp.net MVC表单远程验证不执行异步API调用”的问题，可以按照以下步骤进行：

1. 在前端视图中，为需要远程验证的表单字段添加 data-val-remote 属性，并在其中指定异步验证的 URL。

2. 在前端视图中，添加一个用于异步验证的 JavaScript 函数，该函数会调用异步 API 并返回验证结果。

$.validator.unobtrusive.adapters.add("remote", ["url"], function (options) {
    options.rules["remote"] = {
        url: options.params.url,
        type: "POST",
        dataType: "json",
        data: {
            // 发送的数据
        }
    };
    options.messages["remote"] = options.message;
});

$.validator.addMethod("remote", function (value, element, params) {
    var response = $.ajax({
        url: params.url,
        type: "POST",
        dataType: "json",
        data: {
            // 发送的数据
        },
        async: false
    }).responseJSON;

    return response.isValid;
});

3. 在后端控制器中，添加一个用于处理远程验证的 API 方法。该方法应该接收前端传递的数据，并返回一个包含验证结果的 JSON 对象。

[HttpPost]
public JsonResult RemoteValidation(string data)
{
    // 执行验证逻辑
    bool isValid = // 验证结果

    return Json(new { isValid = isValid });
}

4. 确保在 Global.asax.cs 文件中启用远程验证。

protected void Application_Start()
{
    // 其他代码...

    // 启用远程验证
    DataAnnotationsModelValidatorProvider.RegisterAdapter(typeof(RemoteAttribute), typeof(RemoteValidator));
}

通过以上步骤，当用户在前端输入表单字段的值时，会触发异步 API 的调用进行远程验证，并根据验证结果返回给用户。