在ASP.Net Web API中，可以通过全局异常记录来捕获和处理应用程序中的异常。下面是一个解决方法的示例代码：

1. 首先，创建一个全局异常过滤器类，该类继承自ExceptionFilterAttribute：

public class GlobalExceptionFilter : ExceptionFilterAttribute
{
    public override void OnException(HttpActionExecutedContext context)
    {
        // 记录异常日志
        LogException(context.Exception);

        // 返回适当的错误响应
        context.Response = new HttpResponseMessage(HttpStatusCode.InternalServerError)
        {
            Content = new StringContent("An unexpected error occurred."),
            ReasonPhrase = "Internal Server Error"
        };
    }

    private void LogException(Exception exception)
    {
        // 在这里添加记录异常的逻辑，比如写入日志文件或数据库
        // 可以使用第三方日志记录库，如NLog或log4net
        // 例如：
        // logger.Error(exception.Message, exception);
    }
}

2. 然后，在WebApiConfig.cs文件中注册全局异常过滤器：

public static class WebApiConfig
{
    public static void Register(HttpConfiguration config)
    {
        // 注册全局异常过滤器
        config.Filters.Add(new GlobalExceptionFilter());

        // 其他配置...
    }
}

3. 最后，在全局.asax文件中调用WebApiConfig.Register方法来注册全局异常过滤器：

protected void Application_Start()
{
    GlobalConfiguration.Configure(WebApiConfig.Register);
    // 其他初始化代码...
}

这样，当应用程序中发生异常时，将会调用全局异常过滤器的OnException方法进行异常处理和记录。