在ASP.NET Web API中实现基于令牌的认证和外部认证提供商的解决方案，可以按照以下步骤进行操作：

1. 创建一个新的ASP.NET Web API项目。

2. 在项目中安装所需的NuGet包，包括Microsoft.AspNet.WebApi和Microsoft.Owin.Security。

3. 在WebApiConfig.cs文件中配置路由。

public static void Register(HttpConfiguration config)
{
    // 路由配置代码
}

4. 在Startup.cs文件中配置身份验证和授权。

public void Configuration(IAppBuilder app)
{
    // 配置身份验证
    ConfigureAuth(app);
}

private void ConfigureAuth(IAppBuilder app)
{
    // 配置使用令牌验证
    app.UseOAuthBearerAuthentication(new OAuthBearerAuthenticationOptions());

    // 配置使用外部认证提供商（例如Google、Facebook）
    app.UseExternalSignInCookie(DefaultAuthenticationTypes.ExternalCookie);
    app.UseGoogleAuthentication(new GoogleOAuth2AuthenticationOptions()
    {
        ClientId = "your-google-client-id",
        ClientSecret = "your-google-client-secret"
    });
    app.UseFacebookAuthentication(new FacebookAuthenticationOptions()
    {
        AppId = "your-facebook-app-id",
        AppSecret = "your-facebook-app-secret"
    });

    // 其他外部认证提供商的配置代码（根据需要添加）
}

5. 在Controllers文件夹中创建一个名为TokenController的控制器，用于处理令牌的生成和验证。

[Authorize]
public class TokenController : ApiController
{
    [AllowAnonymous]
    [HttpPost]
    public IHttpActionResult GetToken(LoginModel model)
    {
        // 根据用户名和密码验证用户，并生成令牌
        if (IsValidUser(model.Username, model.Password))
        {
            var token = GenerateToken(model.Username);

            return Ok(new { Token = token });
        }

        return Unauthorized();
    }

    private bool IsValidUser(string username, string password)
    {
        // 用户验证逻辑代码
    }

    private string GenerateToken(string username)
    {
        // 生成令牌逻辑代码
    }
}

6. 在Controllers文件夹中创建一个名为AccountController的控制器，用于处理外部认证提供商的回调。

public class AccountController : ApiController
{
    [AllowAnonymous]
    [HttpGet]
    public IHttpActionResult ExternalLogin(string provider)
    {
        // 跳转至外部认证提供商的登录页面
        HttpContext.Current.GetOwinContext().Authentication.Challenge(new AuthenticationProperties { RedirectUri = "/api/Account/ExternalLoginCallback" }, provider);

        return Unauthorized();
    }

    [AllowAnonymous]
    [HttpGet]
    public async Task ExternalLoginCallback()
    {
        // 处理外部认证提供商的回调
        var loginInfo = await HttpContext.Current.GetOwinContext().Authentication.GetExternalLoginInfoAsync();

        // 处理用户登录逻辑
    }
}

通过以上步骤，你可以在ASP.NET Web API中实现基于令牌的认证和外部认证提供商的功能。根据你的需求，可以进一步添加代码以实现具体的业务逻辑。