在ASP.NET WebAPI中使用Serilog进行日志记录，可以按照以下步骤进行：

第一步：安装Serilog和Serilog.Sinks.Console NuGet包 在Visual Studio的NuGet包管理器控制台中执行以下命令来安装所需的包：

Install-Package Serilog
Install-Package Serilog.Sinks.Console

第二步：在Global.asax.cs文件中配置Serilog 在Application_Start方法中添加以下代码：

using Serilog;

protected void Application_Start()
{
    // 全局配置Serilog
    Log.Logger = new LoggerConfiguration()
        .MinimumLevel.Debug()
        .WriteTo.Console()
        .CreateLogger();

    // 使用Serilog作为WebAPI的日志记录器
    GlobalConfiguration.Configuration.UseSerilogLogProvider();
}

第三步：在每个WebAPI控制器中记录日志 在需要记录日志的控制器中，通过构造函数注入ILogger接口，并使用它来记录日志。以下是一个示例控制器：

using System.Web.Http;
using Serilog;

public class ValuesController : ApiController
{
    private readonly ILogger _logger;

    public ValuesController(ILogger logger)
    {
        _logger = logger;
    }

    public IHttpActionResult Get()
    {
        _logger.Information("GET request received");

        // 处理请求并返回响应
        return Ok(new string[] { "value1", "value2" });
    }
}

现在，当执行GET请求时，它将记录一条日志，其中包含"GET request received"消息。

请注意，上述示例中的代码是基于Serilog和ASP.NET WebAPI v5.2.7版本。根据您使用的版本，可能需要进行适当的调整。